http://faizsadventure.blogspot.com

Senin, 17 September 2012

Riset Operasi (Program Linear)

III. Program Linear: Solusi Komputer dengan Program LINDO/PC
LINDO/PC adalah versi popular dari paket program LINDO yang dikembangkan oleh
Linus E. Scharge dari Universitas Chicago. LINDO/PC memungkinkan pemakai
berinteraksi dengan komputer dalam arti sekali program dimasukkan dalam komputer,
pemakai tinggal menuliskan fungsi tujuan dan kendala-kendala yang diperlukan.
Ketika semua input telah selesai, pemakai kemudian memberi perintah GO, dan
LINDO/PC menyelesaikan problem linear tersebut. Solusi optimum dan semua
informasi yang berkaitan dengan masalah tersebut ditampilkan pada monitor
komputer.
1. Ilustrasi problem
Berikut ini ditampilkan kembali kasus perusahaan TAS Inc. yang telah diuraikan pada
metode grafik agar lebih memudahkan memahami kasus dan dapat membandingkan hasil
penyelesaiannya.
TAS Inc. adalah suatu industri kecil yang memproduksi tas sekolah. Para distributor TAS
sangat antusias pada rencana perusahaan untuk membuat dua desain baru tas sekolah
yaitu model ransel dan model klasik dan mereka bersedia untuk membeli semua produk
baru tersebut dalam 3 bulan mendatang. Setelah melalui serangkaian penelitian mengenai
semua tahap pekerjaan, manajemen perusahaan menyatakan bahwa kedua produk baru
tersebut akan melalui tahapan pengerjaan yang meliputi:
1. Pemotongan
2. Penjahitan
3. Penyelesaian akhir
4. Pemeriksaan dan pengepakan
Manager produksi telah menganalisa bahwa untuk menghasilkan satu tas model Ransel
memerlukan 2 jam pengerjaan pada bagian pemotongan, 2 jam pada bagian penjahitan, 1
jam pada bagian penyelesaian, dan 2 jam pada bagian pemeriksaan dan pengepakan. Pada
sisi lain, untuk menghasilkan satu tas model Klasik diperlukan 2 jam pengerjaan pada
bagian pemotongan, 3.3 jam pada bagian penjahitan, 0.5 jam pada bagian penyelesaian
dan 1.5 jam pada bagian pemeriksaan dan pengepakan.
Informasi pengerjaan tersebut disajikan pada tabel berikut:
Waktu yang diperlukan (jam)
Jenis Produksi Pemotongan Penjahitan Penyelesaian Pemeriksaan dan
Pengepakan
Model Ransel 2 2 1 2
Model Klasik 2 3.3 0.5 1.5
Bagian akuntansi telah menganalisis bahwa setelah menghitung semua perkiraan biaya
produksi dan harga jual maka akan diperoleh keuntungan sebesar Rp. 30.000,- untuk
setiap tas model Ransel dan Rp. 20.000,- untuk model Klasik yang diproduksi. Dari
departemen produksi diperoleh informasi bahwa untuk 3 bulan mendatang hanya tersedia
800 jam kerja pada bagian pemotongan, 1000 jam pada bagian penjahitan, 300 jam pada
bagian penyelesaian dan 650 jam pada bagian pemeriksaan dan pengepakan.
Masalah yang dihadapi oleh perusahaan TAS Inc. adalah menentukan berapa banyak tas
model Ransel, dan berapa banyak model Klasik yang harus diproduksi untuk
memaksimumkan keuntungan dengan memperhatikan ketersediaan waktu kerja pada
setiap bagian tersebut. Jika anda ditugaskan bada bagian produksi, keputusan apa yang
anda buat, yaitu berapa banyak tas Model Ransel dan Model Klasik masing-masing harus
diproduksi dalam waktu 3 bulan mendatang?
Langkah pertama sebelum menggunakan komputer adalah menyusun model matematik
dari persoalan tersebut dan anda diharapkan sudah dapat menyusun model tersebut
seperti yang dilakukan ketika menggunakan metode grafik.
Dengan menggunakan program LINDO/PC maka fungsi tujuan berada pada baris. Di
bawah tulisan SUBJECT TO terlihat bahwa fungsi pembatas Pemotongan sebagai baris 2,
penjahitan pada baris ke 3, penyelesaian pada baris ke 4 dan pemeriksaan serta
pengepakan sebagai baris ke 5.
Begitu semua input selesai diketik, maka LINDO/PC menampilkan solusi dari program
linear tersebut setelah terlebih dahulu mengetik perintah GO. Output dari program
LINDO ditampilkan pada gambar di bawah ini.
Output tersebut dapat dikelompokkan ke dalam dua bagian, yaitu: pertama adalah
informasi dasar mengenai solusi optimal. Setelah mencetak nilai dari variabel slack and
surplus serta dual prices, LINDO/PC menanyakan apakah perlu menampilkan analisis
sensitivitas (DO RANGE SENSITIVITY ANALYSIS)? Jika respon yang diberikan YES
maka informasi hasil analysis mengenai koefisien fungsi tujuan (objective function
coefficients) dan nilai sisi kanan dari kendala (right-hand sides of the constraints) segera
ditampilkan.
A> LINDO
LINDO/PC
: MAX 3 X1 + 2 X2
? ST
? 2 X1 + 2 X2 <= 800
? 2 X1 + 3.3 X2 <= 1000
? X1 + 0.5 X2 <= 300
? 2 X1 + 1.5 X2 <= 650
? END
: LOOK ALL
MAX 3 X1 + 2 X2
SUBJECT TO
2) 2 X1 + 2 X2 <= 800
3) 2 X1 + 3.3 X2 <= 1000
4) X1 + 0.5 X2 <= 300
5) 2 X1 + 1.5 X2 <= 650
END
Instruksi untuk mengaktifkan program
LINDO/PC dari drive A
Formulasi model linear
yang diketikkan pada
LINDO/PC
Perintah untuk memeriksa data yang
telah diketikkan
Hasil dari perintah LOOK ALL
: GO
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 950.00000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 250.000000 .000000
X2 100.000000 .000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 100.000000 .000000
3) 170.000000 .000000
4) .000000 1.000000
5) .000000 1.000000
DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS ?
: YES
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 3.000000 1.000000 .333333
X2 2.000000 .250000 .500000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 800.000000 INFINITY 100.000000
3 1000.000000 INFINITY 170.000000
4 300.000000 25.000000 23.611110
5 650.000000 36.956520 50.000000
: QUIT
Informasi mengenai
solusi optimal
Informasi
mengenai
analisis
sensitivitas
Perintah untuk menampilkan
hasil analisis sensitivitas
Perintah untuk keluar dari
program LINDO/PC
Interpretasi dari output komputer
Output komputer dengan menggunakan program LINDO/PC untuk masalah perusahaan
TAS Inc. ditampilkan dalam gambar di atas. Pertama adalah nilai di bawah sub-judul
OBJECTIVE FUNCTION VALUE menunjukkan nilai sebesar 950 artinya keuntungan
(profit) perusahaan TAS Inc. adalah 9.500.000 rupiah (ingat fungsi tujuan disusun dalam
puluhan ribu rupiah) dan itu adalah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh.
Berikutnya adalah nilai dari variabel keputusan pada solusi optimal yaitu X1 = 250 dan
X2 = 100. Dari formulasi matematik diketahui bahwa variabel keputusan X1 berasosiasi
dengan jumlah tas model Ransel yang diproduksi dan X2 menyatakan jumlah tas model
Klasik. Oleh karena itu untuk menghasilkan keuntungan maksimum maka perusahaan
harus menghasilkan kombinasi optimum produk tas model Ransel sebanyak 250 unit dan
tas model Klasik sebanyak 100 unit.
Informasi di bawah sub-judul REDUCED COST menunjukkan seberapa besar nilai
koefisien fungsi tujuan dari masing-masing variavel harus ditambah agar variabel
keputusan tersebut bernilai positif pada solusi optimal. Jika semua variabel keputusan
sudah bernilai positif maka nilai dari reduced cost untuk masing-masing variabel adalah
nol. Pada kasus perusahaan TAS Inc. solusi optimal adalah X1 = 250 unit dan X2 = 100
unit. Karena kedua variabel ini sudah bernilai positif maka nilai reduced costnya adalah
nol. Pada kasus lainnya kita akan menampilkan kasus di mana solusi optimal
menghasilkan satu atau lebih variabel keputusan yang tidak positif (nol).
Setelah informasi mengenai variabel keputusan dan reduced costnya maka ditampilkan
informasi mengenai status dari kendala/pembatas (constraints). Pada kasus perusahaan
TAS Inc. terdapat empat fungsi lebih kecil dari atau sama dengan ketersediaan waktu
kerja pada masing-masing bagian produksi. Informasi mengenai Slack or surplus
menampilkan sumberdaya (dalam hal ini waktu kerja) yang masih tersedia (slack) untuk
masing-masing bagian. Informasi mengenai kendala tersebut ditampilkan kembali pada
tabel berikut:
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 100.000000 .000000
3) 170.000000 .000000
4) .000000 1.000000
5) .000000 1.000000
Dari informasi di atas terlihat bahwa kendala yang berhubungan dengan solusi optimal
(binding) adalah penyelesaian dan pemeriksaan dan pengepakan yang ditunjukkan oleh
nilai slack or surplus yang sama dengan nol artinya pada kedua bagian produksi tersebut
semua kapasitas yang ada telah habis terpakai. Sedangkan bagian pemotongan memiliki
kapasitas yang belum terpakai (slack) sebanyak 100 jam dan bagian penjahitan sebanyak
170 jam.
Dual prices menunjukkan nilai dari setiap jam waktu kerja pada solusi optimal. Dari tebel
di atas terlihat bahwa dual price dari kendala penyelesaian adalah 1, artinya setiap jam
waktu kerja tambahan pada bagian ini akan memberikan tambahan keuntungan sebesar
10.000 rupiah (ingat kembali fungsi tujuan dinyatakan dalam puluhan ribu rupiah).
Misalkan ketersediaan waktu kerja bagian penyelesaian ditambah satu jam dari 300 jam
menjadi 301 jam sedangkan kendala lainnya tetap, maka keuntungan perusahaan akan
meningkat 10.000 rupiah dari Rp. 9.500.000 menjadi Rp. 9.500.000 + Rp. 10.000 yaitu
9.510.000 rupiah. Interpretasi yang sama terjadi pada kendala pemeriksaan dan
pengepakan. Penambahan satu jam kerja pada bagian ini dari 650 jam menjadi 651 jam
akan meningkatkan keuntungan perusahaan sebesar 10.000 rupiah, bila kendala lain
tetap.
Pada sisi lain bagian pemotongan memiliki kapasitas yang belum terpakai (slack)
sebanyak 100 jam dan bagian penjahitan sebanyak 170 jam. Oleh karena itu penambahan
jam kerja pada kedua bagian ini tidak akan memberikan tambahan keuntungan karena
kapasitas yang adapun tidak habis terpakai. Jadi itulah sebabnya nilai dari dual pricesnya
adalah nol.
Print out program LINDO/PC juga menampilkan informasi mengenai analisis sensitivitas
baik untuk fungsi tujuan maupun kendala. Di bawah sub-judul OBJ COEFFICIENT
RANGES terlihat bahwa koefisien dari X1 adalah 3 (dalam puluhan ribu) sehingga range
of optimality dari variabel ini adalah:
2,6666 ≤ c1 ≤ 4
di mana c1 adalah koefisien dari variabel X1 pada fungsi tujuan. Batas bawah dari range
tersebut diperoleh dengan mengurangi koefisien yang berlaku yaitu 3 (current coefficient)
dengan koefisien allowable decrease yaitu 0,3333 sehingga batas bawah menjadi 2,6666.
Batas atas diperoleh dengan menambahkan nilai dari current coefficient (yaitu 3) dengan
allowable increasenya (yaitu 1) sehingga batas atas dari range adalah 4. Perubahan
koefisien X1 pada fungsi tujuan sepanjang masih dalam range of optimality tersebut tidak
akan merubah solusi optimalnya. Artinya sepanjang produksi tas model Ransel
memberikan keuntungan antara Rp 26.666 hingga Rp.40.000 (koefisien lain tetap) maka
solusi optimal adalah tetap yaitu menghasilkan X1 = 250 unit dan X2 = 100 unit.
Dengan cara yang sama maka diperoleh range of optimality untuk tas model Klasik
adalah:
1,5000 ≤ c2 ≤ 2,2500
Sepanjang produksi tas model Klasik memberikan keuntungan antara 15.000 rupiah
hingga 22.5000 rupiah per unit, maka solusi optimal yaitu menghasilkan X1 = 250 unit
dan X2 = 100 unit tidak akan berubah (koefisien lain tetap).
Bagian terakhir dari output LINDO/PC adalah range dari sisi-kanan fungsi pembatas
(RIGHTHAND SIDE RANGES). Sepanjang perubahan ketersediaan sumberdaya berada
dalam range tersebut maka nilai dari dual pricenya akan tetap. Range di mana nilai dari
dual price adalah tetap (applicable) disebut range of feasibility.
Perhatikan kendala nomor 3 yaitu bagian penyelesaian dimana waktu kerja tersedia
adalah 300 jam dan nilai dari dual pricenya adalah 1 (dalam puluhan ribu rupiah).
Apabila perubahan ketersediaan waktu kerja pada bagian ini masih berada pada range of
feasibilitynya maka nilai dual pricenya akan tetap 1 (dalam puluhan ribu rupiah). Batas
bawah feasibility range dari kendala ini diperoleh dengan mengurangkan nilai right-hand
sidenya (RHS) yaitu 300 dengan nilai allowable decreasenya yaitu 23,61 sehingga
diperoleh angka 276,39. Batas atas diperoleh dengan menambahkan nilai RHS dengan
allowable increasenya sehingga diperoleh angka 325. Sepanjang ketersediaan waktu
kerja pada bagian ini antara 276,39 jam dan 325 jam maka nilai dual pricenya tetap
applicable (faktor lain tetap). Bila ketersediaan jam kerja pada bagian ini berada di luar
range of feasibilitynya nilai dual price yang ada tidak valid lagi. Feasibility range untuk
kendala yang lain dapat dihitung dengan cara yang sama. Hasilnya dapat dilihat pada
tabel di bawah:
RIGHTHAND SIDE RANGES
Kendala Minimum Maksimum
RHS RHS
Pemotongan 700 INFINITY
Penjahitan 830 INFINITY
Penyelesaian 276.39 325
Pemeriksaan & 600 686.96
pengepakan
Note:
Informasi mengenai analisis sensitivitas dari output komputer diperoleh dengan asumsi
bahwa perubahan tersebut hanya terjadi pada satu koefisien sedangkan koefisien lain
tetap seperti semula. Jadi range of optimality pada fungsi tujuan dan range of feasibility
pada kendala/pembatas hanya applicable pada perubahan satu koefisien saja. Dalam
banyak kasus kita tertarik untuk menganalisis apa yang akan terjadi bila koefisienkoefisien
tersebut berubah secara simultan. Informasi mengenai pengaruh perubahan
seperti ini tidak langsung bisa diperoleh dari output komputer dan harus dihitung secara
tersendiri. Untuk keperluan ini maka Aturan 100 persen (100 percent rule) dapat
membantu menyelesaikannya. Namun demikian untuk saat ini aturan tersebut tidak akan
dibahas dalam hand out ini.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar